Question

18．（B組題）設(shè)定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足：對任意的x∈R，總有f（x-4）=f（x+4），且當(dāng)x∈（0，4）時，$f（x）={e^{x-\frac{π}{2}}}+|{cosx}|-2$．則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-8，16）上的零點個數(shù)是（　�。�

• A． 6
• B． 9
• C． 12
• D． 13

Answer 1

分析 作出y=e${\;}^{x-\frac{π}{2}}$和y=2-|cosx|的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出f（x）在（0，4）上的零點個數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知f（x）在一個周期內(nèi)有3個零點，從而得出答案．

解答 解：∵f（x-4）=f（x+4），∴f（x）的周期為8，
令e${\;}^{x-\frac{π}{2}}$+|cosx|-2=0可得e${\;}^{x-\frac{π}{2}}$=2-|cosx|，
作出y=e${\;}^{x-\frac{π}{2}}$和y=2-|cosx|的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）在（0，4）上有1個零點，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）在（-4，0）上有1個零點，
又f（0）=0，∴f（x）在（-4，4）上有3個零點，
∵f（x）在一個周期內(nèi)有3個零點，
∴f（x）在[-8，16）上有9個零點．
故選B．

點評 本題考查了函數(shù)的零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．