Question

4．已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$+2x-1．
（1）當a=2時，求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（2）當x≥0時，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)的定義域，把a=2代入函數(shù)解析式，求導，得單調區(qū)間；
（2）令t=x+1，若x≥0時，則t≥1函數(shù)f（x）=aln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$+2x-1=alnt+$\frac{1}{t}$+2t-3．x≥0時，f（x）≥0恒成立，等價于t≥1時，alnt+$\frac{1}{t}$+2t-3≥0．令g（t）=alnt+$\frac{1}{t}$+2t-3．對函數(shù)g（t）求導，研究g（t）即可．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為（-1，+∞）
當a=2時，f（x）=2ln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$+2x-1，
f′（x）=$\frac{2}{x+1}$-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$+2，
f′（0）=2-1+2=3，f（0）=0，
∴過（0，0）斜率是3的直線方程是：y=3x；
（2）令t=x+1，若x≥0時，則t≥1，
函數(shù)f（x）=aln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$+2x-1=alnt+$\frac{1}{t}$+2t-3．
x≥0時，f（x）≥0恒成立，等價于t≥1時，alnt+$\frac{1}{t}$+2t-3≥0．
令g（t）=alnt+$\frac{1}{t}$+2t-3．
g（1）=0+1+2-3=0
g′（t）=$\frac{a}{t}$-$\frac{1}{{t}^{2}}$+2=$\frac{{2t}^{2}+at-1}{{t}^{2}}$，
設h（t）=2t²+at-1
則h（t）恒過（0，-1）
①當h（1）≥0，畫函數(shù)y=h（t）的圖象如圖：

故當h（1）≥0，即2+a-1≥0，也即a≥-1時，h（t）≥0在t≥1恒成立，
∴g′（t）≥0在t≥1恒成立，
∴g（t）在t≥1時遞增，∴g（t）≥g（1）=0恒成立，
②當h（1）＜0時，

即當h（1）＜0，即2+a-1＜0，也即a＜-1時，h（t）＜0在t∈（1，t₂）恒成立，
∴g′（t）＜0在t∈（1，t₂）恒成立，
∴g（t）在t∈（1，t₂）時遞減，∴g（t）＜g（1）=0恒成立，不滿足g（t）＞0恒成立，
綜上a≥-1．

點評 本題主要研究函數(shù)與導數(shù)的關系，情況復雜時，可以進行分類討論，同時結合圖象解題也是常用方法．