Question

17．如果直線3ax-by+15=0（a＞0，b＞0）和函數(shù)f（x）=m^x+1+2（m＞0，m≠1）的圖象恒過同一個定點，且該定點始終落在圓（x-a+1）²+（y+b-3）²=16的內(nèi)部或圓上，那么，$\frac{a}$的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{16-5\sqrt{7}}{9}$，$\frac{16+5\sqrt{7}}{9}$）
• B． （$\frac{16-5\sqrt{7}}{9}$，$\frac{16+5\sqrt{7}}{9}$）
• C． [$\frac{16-5\sqrt{7}}{9}$，$\frac{16+5\sqrt{7}}{9}$]
• D． （$\frac{16-5\sqrt{7}}{9}$，$\frac{16+5\sqrt{7}}{9}$]

Answer 1

分析 由冪函數(shù)求出定點坐標，把定點坐標代入直線和圓的方程，求出a的取值范圍，從而求出$\frac{a}$的取值范圍．

解答 解：∵當x+1=0，即x=-1時，y=f（x）=m^x+1+2=1+2=3，
∴函數(shù)f（x）的圖象恒過一個定點（-1，3）；
又直線3ax-by+15=0過定點（-1，3），
∴a+b=5①；
又定點（-1，3）在圓（x-a+1）²+（y+b-3）²=16的內(nèi)部或圓上，
∴（-1-a+1）²+（3+b-3）²≤16，
即a²+b²≤16②；
由①②得，$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$≤b≤$\frac{5+\sqrt{7}}{2}$，
∴$\frac{2}{5+\sqrt{7}}$≤$\frac{1}$≤$\frac{2}{5-\sqrt{7}}$，
∴$\frac{a}$=$\frac{5}$-1∈[$\frac{16-5\sqrt{7}}{9}$，$\frac{16+5\sqrt{7}}{9}$]
故選：C．

點評 本題考查了直線與圓的方程以及函數(shù)與不等式的應用問題，是一道簡單的綜合試題．