Question

2．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，恰好是含60°角的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由題意可得tan30°=$\frac{c}$，或tan60°=$\frac{c}$，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸兩個(gè)頂點(diǎn)，
是一個(gè)含60°角的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)，
則tan30°=$\frac{c}$，或tan60°=$\frac{c}$，
當(dāng)$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，即b=$\sqrt{3}$c，即有a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2c，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)$\frac{c}$=$\sqrt{3}$時(shí)，即b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，即有a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
可得離心率為$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．