Question

1．已知：當x＞0時，不等式$\frac{1}{1+x}$≥kx+b恒成立，當且僅當x=$\frac{1}{3}$時取等號，則k=-$\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{3}$k+b，求出b，再對不等式化簡整理，可得當x＞0時，不等式$\frac{1}{1+x}$≥kx+b恒成立．即為$\frac{1}{1+x}$-$\frac{3}{4}$≥k（x-$\frac{1}{3}$），對x討論，結合函數(shù)的單調(diào)性和恒成立思想即可得到k的值．

解答 解：由題意可得，不等式$\frac{1}{1+x}$≥kx+b，當且僅當x=$\frac{1}{3}$時取等號，
即有$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{3}$k+b，即b=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{3}$k．
則當x＞0時，不等式$\frac{1}{1+x}$≥kx+b恒成立．
即為$\frac{1}{1+x}$-$\frac{3}{4}$≥k（x-$\frac{1}{3}$），
即有$\frac{1-3x}{4（1+x）}$≥$\frac{k（3x-1）}{3}$，
當x＞$\frac{1}{3}$時，k≤-$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{1+x}$恒成立，y=-$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{1+x}$在（$\frac{1}{3}$，+∞）遞增，
即有y＞-$\frac{9}{16}$，即k≤-$\frac{9}{16}$；
當0＜x＜$\frac{1}{3}$時，k≥-$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{1+x}$恒成立，y=-$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{1+x}$在（0，$\frac{1}{3}$）遞增，
即有y＜-$\frac{9}{16}$，即k≥-$\frac{9}{16}$．
由題意可得，k=-$\frac{9}{16}$．
故答案為：-$\frac{9}{16}$．

點評 本題考查不等式的恒成立問題，注意運用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，同時考查分類討論的思想方法，屬于中檔題和易錯題．