Question

2．在平面直角坐標(biāo)系上，有一點(diǎn)列${P_1}，{P_2}，…，{P_{n-1}}，{P_n}，…（{n∈{N^*}}）$，設(shè)點(diǎn)P_n的坐標(biāo)（n，a_n），其中${a_n}=\frac{2}{n}（n∈{N^*}）$，過點(diǎn)P_n，P_n+1的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為b_n，設(shè)S_n表示數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，則S₅=$\frac{125}{6}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)題意求出過點(diǎn)P_n，P_n+1的直線方程為y-$\frac{2}{n}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$（x-n），分別令x=0，y=0，表示出b_n=4+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再分組求和即可．

解答 解：由題意可得P_n的坐標(biāo)（n，$\frac{2}{n}$），P_n+1的坐標(biāo)為（n+1，$\frac{2}{n+1}$），
則過點(diǎn)P_n，P_n+1的直線方程為y-$\frac{2}{n}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$（x-n），
令x=0，解得y=$\frac{2}{n}$+$\frac{2}{n+1}$，
令y=0，解得x=2n+1，
∴b_n=$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{n}$+$\frac{2}{n+1}$）（2n+1）=2+$\frac{n+1}{n}$+$\frac{n}{n+1}$=4+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
∴S_n=4n+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=4n+1-$\frac{1}{n+1}$=4n+$\frac{n}{n+1}$，
∴S₅=20+$\frac{5}{6}$=$\frac{125}{6}$，
故答案為：$\frac{125}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列在解析幾何中的應(yīng)用，以及直線方程的求法和三角形的面積公式，考查了學(xué)生的分析問題，解決問題的能力，屬于中檔題