Question

7．設(shè)點(diǎn)F為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，A，B是拋物線上兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于點(diǎn)D（5，0），則|AF|+|BF|=（　�。�

• A． 5
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 方法一：由拋物線的焦點(diǎn)弦公式求得丨AF丨+丨BF丨=x₁+x₂+2，由丨AD丨=丨BD丨，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得x₁+x₂=6，即可求得|AF|+|BF|；
方法二：由拋物線的焦點(diǎn)弦公式求得丨AF丨+丨BF丨=x₁+x₂+2，利用點(diǎn)差法求得直線AB的斜率，即可求得直線AB的中垂線方程，將D代入即可求得x₁+x₂，即可求得|AF|+|BF|．

解答 解：方法一：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
則丨AF丨+丨BF丨=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+2，
由線段AB的中垂線交x軸于點(diǎn)D（5，0），則丨AD丨=丨BD丨，
（x₁-5）²+y₁²=（x₂-5）²+y₂²，整理得：（x₁+x₂-10）（x₁-x₂）=y₂²-y₁²=4（x₂-x₁），
x₁+x₂-10=-4，x₁+x₂=6，
∴|AF|+|BF|=8．
故選C．
方法二：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
則丨AF丨+丨BF丨=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+2，
則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為：（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}^{2}=4{x}_{1}}\\{{y}_{2}^{2}=4{x}_{2}}\end{array}\right.$，整理得：（y₂-y₁）（y₂+y₁）=4（x₂-x₁），
直線AB的斜率k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，則直線AB的中垂線的斜率-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{4}$，
中垂線方程y-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{4}$（x-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），
將D（5，0），代入，解得：x₁+x₂=6，
∴|AF|+|BF|=8．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的焦點(diǎn)弦公式，考查點(diǎn)差法的應(yīng)用，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．