Question

10．已知a＞0，函數(shù)f（x）=$\frac{|x-2a|}{x+2a}$在區(qū)間[1，4]上的最大值等于$\frac{1}{3}$，則a的值為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 討論x-2a在區(qū)間[1，4]上恒大于零？恒小于零？既有大于零又有小于零？對(duì)應(yīng)的f（x）的最大值是什么，求出a的值．

解答 解：（1）當(dāng)x-2a在區(qū)間[1，4]上恒大于零時(shí)，
∵x-2a＞0，∴a＜$\frac{x}{2}$；
當(dāng)x=1時(shí)，滿足x-2a在[1，4]上恒大于零，即a＜$\frac{1}{2}$；
此時(shí)函數(shù)f（x）=$\frac{x-2a}{x+2a}$=1-$\frac{4a}{x+2a}$，
該函數(shù)在定義域[1，4]上為增函數(shù)，在x=4時(shí)，取最大值f（4）=$\frac{1}{3}$，
∴a=1，不滿足a＜$\frac{1}{2}$的假設(shè)，舍去．
（2）當(dāng)x-2a在區(qū)間[1，4]上恒小于零時(shí)，
∵x-2a＜0，∴a＞$\frac{x}{2}$；
當(dāng)x=4時(shí)，滿足x-2a在[1，4]上恒小于零，即a＞2；
此時(shí)函數(shù)f（x）=$\frac{-（x-2a）}{x+2a}$=$\frac{4a}{x+2a}$-1，
該函數(shù)在定義域[1，4]上為減函數(shù)，在x=1時(shí)，取最大值f（1）=$\frac{1}{3}$，
∴a=1，不滿足a＞2的假設(shè)，舍去．
（3）由前面討論知，當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜2時(shí)，x-2a在區(qū)間[1，4]上既有大于零又有小于零時(shí)，
①當(dāng)x＜2a時(shí)，x-2a＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）=$\frac{4a}{x+2a}$-1在[1，2a）上為減函數(shù)，
在x=1時(shí)，取到最大值f（1）=$\frac{1}{3}$；
②當(dāng)x＞2a時(shí)，x-2a＞0．此時(shí)函數(shù)f（x）=1-$\frac{4a}{x+2a}$在（2a，4]時(shí)為增函數(shù)，
在x=4時(shí)，取到最大值f（4）=$\frac{1}{3}$；
總之，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間[1，4]上先減后增，在端點(diǎn)處取到最大值；
當(dāng)函數(shù)在x=1處取最大值時(shí)，解得a=1，此時(shí)函數(shù)f（x）=$\frac{|x-2|}{x+2}$，
將函數(shù)的另一個(gè)最大值點(diǎn)x=4代入得：
 f（4）=$\frac{1}{3}$，
∵f（1）=f（4），∴滿足條件；
當(dāng)函數(shù)在x=4處取最大值時(shí)，解得a=1，此時(shí)函數(shù)f（x）=$\frac{|x-2|}{x+2}$，
將函數(shù)的另一個(gè)最大值點(diǎn)x=1代入得：
f（1）=$\frac{1}{3}$，
∵f（1）=f（4）成立．
∴a=1．
另解：函數(shù)f（x）=$\frac{|x-2a|}{x+2a}$，x∈[1，4]，a＞0，
可得f（x）=|$\frac{x-2a}{x+2a}$|=|1-$\frac{4a}{x+2a}$|，
若當(dāng)x=4時(shí)，f（x）取得最大值，則$\frac{4a}{x+2a}$=$\frac{2}{3}$，
即有$\frac{4a}{4+2a}$=$\frac{2}{3}$，解得a=1；
若當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最大值，則$\frac{4a}{x+2a}$=$\frac{4}{3}$，
即有$\frac{4a}{1+2a}$=$\frac{4}{3}$，解得a=1；
綜上可得a=1．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含有絕對(duì)值的函數(shù)在某一閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，注意運(yùn)用分類討論方法，是易錯(cuò)題．