Question

7．設函數f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．
（Ⅰ）設a＞0，若函數f（x）在區(qū)間（a，a+$\frac{1}{3}$）上存在極值，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）如果當x≥1時，不等式f（x）≥$\frac{{k}^{2}+k}{x+1}$恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數，確定函數f（x）在x=1處取得極大值，根據函數在區(qū)間（a，a+$\frac{1}{3}$）（a＞0）上存在極值點，可得 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＜1＜a+\frac{1}{3}}\end{array}\right.$⇒$\frac{2}{3}$＜a＜1，即可求實數a的取值范圍；
（2）當x≥1時，分離參數，構造g（x），（x≥1），證明g（x）在[1，+∞）上是單調遞增，所以[g（x）]_min=g（1）=2，即可求實數k的取值范圍．

解答 解：（1）函數f（x）定義域為（0，+∞），f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
由f′（x）=0⇒x=1，當0＜x＜1時，f′（x）＞0，當x＞1時，f′（x）＜0，
則f（x）在（0，1）上單增，在（1，+∞）上單減，
所以函數f（x）在x=1處取得唯一的極值．
由題意得  $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＜1＜a+\frac{1}{3}}\end{array}\right.$⇒$\frac{2}{3}$＜a＜1，
故所求實數a的取值范圍為（$\frac{2}{3}$，1）
（2）令m=k³+k，
當x≥1時，不等式f（x）≥$\frac{{k}^{3}+k}{x+1}$恒成立?$\frac{1+lnx}{x}$≥$\frac{m}{x+1}$?m≤$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$．
令g（x）=$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$，（x≥1），
由題意，k≤g（x）在[1，+∞）恒成立．g′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，
令h（x）=x-lnx（x≥1），則h′（x）=1-$\frac{1}{x}$≥0，當且僅當x=1時取等號．
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上單調遞增，h（x）≥h（1）=1＞0
因此g′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{h（x）}{{x}^{2}}$＞0，則g（x）在[1，+∞）上單調遞增，g（x）_min=g（1）=2
所以m≤2，即：k²+k≤2，解得：-2≤k≤1，
∴實數k的取值范圍為[-2，1]．

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查函數的單調性與極值、最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．