Question

16．已知M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，若△MBC、△MAB、△MAC的面積分別為$\frac{1}{2}$、x、y．
（1）求△ABC的面積S的值；
（I2）求$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，可得$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$cos30°=2$\sqrt{3}$，可得$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$，即可得出S=$\frac{1}{2}AB•ACsinA$．
（2）由1═S_△MBC+S_△MAB+S_△MAC，可得x+y=$\frac{1}{2}$．利用$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$=2（x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{4}{y}）$=2$（5+\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}）$，基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，
∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$cos30°=2$\sqrt{3}$，
∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$=4，
由題意可得：S=$\frac{1}{2}AB•ACsinA$=$\frac{1}{2}×4×sin3{0}^{°}$=1．
（2）由1═S_△MBC+S_△MAB+S_△MAC，
∴1=$\frac{1}{2}$+x+y，
化為x+y=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$=2（x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{4}{y}）$=2$（5+\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}）$≥2$（5+2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}）$=18，當(dāng)且僅當(dāng)y=2x=$\frac{1}{3}$取等號(hào)．
∴$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$的最小值為18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．