Question

3．設函數f（x）=lg[（2x-3）（x-1）]的定義域為集合A，函數$g（x）=\sqrt{-{x^2}+4ax-3{a^2}}$的定義域為集合B（其中a∈R，且a＞0）．
（1）當a=1時求集合A∩B；
（2）當A∩B=B時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據對數函數的性質解關于x的不等式即可求出集合A，B，取交集即可；（2）根據集合的包含關系得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）由$（2x-3）（x-1）＞0⇒x＞\frac{3}{2}$或x＜1，
∴$A=（-∞，1）∪（\frac{3}{2}，+∞）$
當a=1時，由-x²+4x-3≥0⇒1≤x≤3，
∴B=[1，3]，
∴$A∩B=（\frac{3}{2}，3]$
（2）當a＞0時B=[a，3a]，
若A∩B=B⇒B⊆A，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ 3a＜1\end{array}\right.$或$a＞\frac{3}{2}$，
解得$0＜a＜\frac{1}{3}$或$a＞\frac{3}{2}$，
故a的取值范圍是$（0，\frac{1}{3}）∪（\frac{3}{2}，+∞）$．

點評 本題考查了對數函數的性質，考查集合的運算，是一道基礎題．