Question

8．已知橢圓Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，若Γ與圓E：${（{x-\frac{3}{2}}）^2}+{y^2}$=1相交于M，N兩點(diǎn)，且圓E在Γ內(nèi)的弧長(zhǎng)為$\frac{2}{3}$π．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）過Γ的中心作兩條直線AC，BD交Γ于A，C和B，D四點(diǎn)，設(shè)直線AC的斜率為k₁，BD的斜率為k₂，且k₁k₂=$\frac{1}{4}$
（1）求直線AB的斜率；
（2）求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），N（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），由此利用待定系數(shù)法能求出a=2，b=1．
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，設(shè)直線AB方程為y=kx+m，代入橢圓方程，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出k．
（2）利用弦長(zhǎng)公式求出|AB|，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出O到直線AB的距離，由此能求出四邊形ABCD面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
Γ與圓E：${（{x-\frac{3}{2}}）^2}+{y^2}$=1相交于M，N兩點(diǎn)，且圓E在Γ內(nèi)的弧長(zhǎng)為$\frac{2}{3}$π，
∴該弧所對(duì)的圓心角為$\frac{2π}{3}$，∴圓心E在該弧的右方，
∴M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），N（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\\{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}=（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1．
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB方程為y=kx+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）=16（1+4k²-m²）＞0，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=$\frac{-4{k}^{2}+{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∵k₁k₂=$\frac{1}{4}$，∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{1}{4}$，即4y₁y₂=x₁x₂，
∴4k²=1，解得k=$±\frac{1}{2}$．
（2）|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{16（4{k}^{2}+1-{m}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}$，
O到直線AB的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
S_{平行四邊形ABCD}=4S_△ABO
=2|AB|d=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{16（4{k}^{2}+1-{m}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=4|m|$\sqrt{2-{m}^{2}}$≤4，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=1，面積有最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查直線的斜率的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．