Question

14．已知cos（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{12}{13}$，且β∈（0，$\frac{π}{4}$），α∈（$\frac{3}{4}$，$\frac{3π}{4}$），求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 由α、β的范圍求出$α-\frac{π}{4}、\frac{π}{4}+β$的范圍，結(jié)合已知求出sin（α-$\frac{π}{4}$）和cos（$\frac{π}{4}$+β）的值，則sin（α+β）的值可求．

解答 解：∵α∈（$\frac{3}{4}$，$\frac{3π}{4}$），∴$α-\frac{π}{4}∈（0，\frac{π}{2}）$，
又cos（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，∴$sin（α-\frac{π}{4}）=\frac{4}{5}$，
又∵β∈（0，$\frac{π}{4}$），∴$\frac{π}{4}+β∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，
sin（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{12}{13}$，∴$cos（\frac{π}{4}+β）=\frac{5}{13}$，
則sin（α+β）=sin[（$\frac{π}{4}+β$）+（$α-\frac{π}{4}$）]
=sin（$\frac{π}{4}+β$）cos（$α-\frac{π}{4}$）+cos（$\frac{π}{4}+β$）sin（$α-\frac{π}{4}$）
=$\frac{12}{13}×\frac{3}{5}+\frac{5}{13}×\frac{4}{5}=\frac{56}{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差正弦、余弦，關(guān)鍵是“拆角、配角”思想方法的運(yùn)用，是中檔題．