Question

13．已知函數(shù)f（x）=ln（x²+1），g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$+a
（1）求y=f′（x）的值域；
（2）設(shè)m為方程f（x）=x的根，求證：當(dāng)x＞m時(shí)，f（x）＜x；
（3）若方程f（x）=g（x）有4個(gè)不同的根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，討論x=0，x＞0，x＜0，結(jié)合基本不等式，即可得到值域；
（2）由題意可得f（m）=m，對(duì)f（x）-x求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，即可得證；
（3）構(gòu)建新函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得方程f（x）=g（x）4個(gè)根的a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ln（x²+1）的導(dǎo)數(shù)為y=f′（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，
當(dāng)x=0時(shí)，y=0；當(dāng)x＞0時(shí)，y=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=1，即有0＜y≤1；
當(dāng)x＜0時(shí)，y=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≥-$\frac{2}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=-1，即有-1≤y＜0．
則所求值域?yàn)閇-1，1]；
（2）證明：f（x）-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）-1=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$-1=$\frac{-（x-1）^{2}}{{x}^{2}+1}$≤0，
即有函數(shù)y=f（x）-x遞減，
由題意可得f（m）=m，
即為x＞m有f（x）-x＜f（m）-m=0，
即有f（x）＜x；
（3）令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x²+1）-$\frac{1}{{x}^{2}-1}$-a，
則h′（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$+$\frac{2x}{（{x}^{2}-1）^{2}}$=2x[$\frac{1}{{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{（{x}^{2}-1）^{2}}$]，
當(dāng)x∈[0，1]∪（1，+∞）時(shí)，h′（x）≥0
當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（-1，0）時(shí)，h′（x）＜0
因此，h（x）在（-∞，-1）、（-1，0）時(shí)，h（x）單調(diào)遞減，
在（0，1）、（1，+∞）時(shí)，h（x）單調(diào)遞增．
又h（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，h（x）極小值為h（0）=1-a，
當(dāng)x→-1^-時(shí)，h（x）→-∞，當(dāng)x→-1⁺時(shí)，h（x）→+∞
當(dāng)x→-∞時(shí)，h（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞
故當(dāng)1-a＜0，即a＞1時(shí)，原方程有4個(gè)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．