Question

4．設$f（x）=\frac{{a{x^2}+bx+1}}{{{e^{x-1}}}}$，已知x=-1和x=1為f（x）的極值點．
（1）求a和b的值；
（2）討論f（x）的單調性并求其最小值．

Answer 1

分析 （1）先求導，再根據x=-1和x=1為f（x）的極值點，代入繼而求出a，b的值，
（2）根據導數函數的單調性和最值的關系即可求出．

解答 解：（I）因為$f'（x）=\frac{{-a{x^2}+（2a-b）x+b-1}}{{{e^{x-1}}}}$，
又x=-1和x=1為f（x）的極值點，
所以f'（-1）=f'（1）=0…（2分）
因為$\left\{{\begin{array}{l}{-3a+2b-1=0}\\{a-1=0}\end{array}}\right.$
解方程組得a=1，b=2． …（6分）
（2）因為a=1，b=2，
所以$f（x）=\frac{{{x^2}+2x+1}}{{{e^{x-1}}}}$，$f'（x）=\frac{{1-{x^2}}}{{{e^{x-1}}}}$，…（7分）
令f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=1．…（8分）
因為當x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，f′（x）＜0；
當x∈（-1，1）時，f′（x）＞0，…（10分）
所以f（x）在（-1，1）上是單調遞增的；
在（-∞，-1）和（1，+∞）上是單調遞減的．…（11分）
又因為當x＞0時，f（x）＞0恒成立．
∴$f{（x）_{min}}=f（-1）=\frac{{{{（-1）}^2}+2（-1）+1}}{{{e^{-1-1}}}}=0$…（13分）

點評 本題考查了導數和函數的單調性極值最值的關系，關鍵是求導，屬于中檔題．