Question

16．如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=$\frac{π}{2}$，AD=$\sqrt{3}$，EF=2．
（1）求證：AE∥平面DCF；
（2）若$BE=\sqrt{3}-1$，且$\frac{AB}{BE}$=λ，當(dāng)λ取何值時，直線AE與BF所成角的大小為60⁰？

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出面ABE∥面CDF，由此能證明AE∥面CDF．
（2）以C為坐標(biāo)原點，以CB，CD，CF分別為x，y，z軸建系，利用向量法能求出當(dāng)λ取1時，直線AE與BF所成角的大小為60°．

解答 證明：（1）∵BE∥CF，AB∥CD，且BE∩AB=B，F(xiàn)C∩CD=C，
∴面ABE∥面CDF，
又AE?面ABE，∴AE∥面CDF．
解：（2）∵∠BCF=$\frac{π}{2}$，且面ABCD⊥面BEFC，∴FC⊥面ABCD
以C為坐標(biāo)原點，以CB，CD，CF分別為x，y，z軸建系，
∵$BE=\sqrt{3}-1$，且$\frac{AB}{BE}$=λ，∴AB=（$\sqrt{3}-1$）λ，
∴A（$\sqrt{3}$，（$\sqrt{3}-1$）λ，0），E（$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}-1$），F(xiàn)（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}$，0，0），
$\overrightarrow{AE}$=（0，（1-$\sqrt{3}$）λ，$\sqrt{3}-1$），$\overrightarrow{BF}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），
∵直線AE與BF所成角的大小為60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{BF}|}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{6}•\sqrt{（\sqrt{3}-1）^{2}+（1-\sqrt{3}）^{2}{λ}^{2}}}$，
由λ＞0，解得λ=1，
∴當(dāng)λ取1時，直線AE與BF所成角的大小為60°．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線段比值使線線角為60°的確定，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．