Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n=2a_n-1+2ⁿ⁺¹+1，n≥2，n∈N．
（1）求a₂，a₃；
（2）證明{$\frac{{a}_{n}+1}{{2}^{n}}$}為等差數(shù)列，并求該數(shù)列的前n項和．

Answer 1

分析 （1）利用遞推公式求得a₂=2+8+1=11，a₃=39；
（2）化簡a_n=2a_n-1+2ⁿ⁺¹+1為a_n+1=2（a_n-1+1）+2ⁿ⁺¹，從而可得$\frac{{a}_{n}+1}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}+1}{{2}^{n-1}}$=2，從而證明，再求等差數(shù)列前n項和即可．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n=2a_n-1+2ⁿ⁺¹+1，
∴a₂=2a₁+2²⁺¹+1=2+8+1=11，
a₃=2a₂+2³⁺¹+1=39；
（2）證明：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ⁺¹+1，
∴a_n+1=2a_n-1+2ⁿ⁺¹+1+1，
即a_n+1=2（a_n-1+1）+2ⁿ⁺¹，
即$\frac{{a}_{n}+1}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+1}{{2}^{n-1}}$+2，
故$\frac{{a}_{n}+1}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}+1}{{2}^{n-1}}$=2，
又∵$\frac{{a}_{1}+1}{2}$=1，
∴{$\frac{{a}_{n}+1}{{2}^{n}}$}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
故$\frac{{a}_{n}+1}{{2}^{n}}$=2n-1，
其前n項和S_n=$\frac{1+2n-1}{2}$×n=n²．

點評 本題考查了數(shù)列遞推公式的應用及構造數(shù)列以證明數(shù)列的性質，同時考查了數(shù)列前n項和公式的應用．