Question

9．設定義在區(qū)間（-b，b）上的函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+ax}{1-ax}$是奇函數(shù)（a，b∈R且a≠-2），則a^b的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由題意和奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x）求出a的值，再由對數(shù)的真數(shù)大于零求出函數(shù)的定義域，則所給的區(qū)間應是定義域的子集，求出b的范圍進而求出a^b的范圍．

解答 解：∵定義在區(qū)間（-b，b）內(nèi)的函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+2x}{1-ax}$是奇函數(shù)，
∴x∈（-b，b），f（-x）=-f（x），即lg$\frac{1-2x}{1+ax}$=-lg$\frac{1+2x}{1-ax}$，
∴1-a²x²=1-4x²，解得a=±2，
又∵a≠-2，∴a=2；則函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+2x}{1-2x}$，
要使函數(shù)有意義，則$\frac{1+2x}{1-2x}$＞0，即（1+2x）（1-2x）＞0
解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，即函數(shù)f（x）的定義域為：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴（-b，b）⊆（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），∴0＜b≤$\frac{1}{2}$
∴a^b的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．
故答案為：（1，$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查了奇函數(shù)的定義以及求對數(shù)函數(shù)的定義域，利用子集關系求出b的范圍，考查了學生的運算能力和對定義的運用能力．