Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（π+x）（sin（$\frac{3π}{2}$+x）-cos²x
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若θ∈[-$\frac{π}{2}$，0]，f（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{10}$，求sin（2θ-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）首先對函數(shù)的關系式進行恒等變換，把函數(shù)的關系式變性成正弦型函數(shù)，進一步求出函數(shù)的周期．
（2）利用函數(shù)的關系式，進一步通過恒等變換，求出$cosθ=\frac{4}{5}$，$sinθ=-\frac{3}{5}$最后求出結果．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（π+x）（sin（$\frac{3π}{2}$+x）-cos²x
=$\sqrt{3}sinxcosx-{cos}^{2}x$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{cos2x+1}{2}$
=$sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，
所以函數(shù)f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）由（1）得$f（\frac{θ}{2}+\frac{π}{3}）$=$sin[2（\frac{θ}{2}+\frac{π}{3}）-\frac{π}{6}]-\frac{1}{2}$=cosθ-$\frac{1}{2}$，
由$cosθ-\frac{1}{2}=\frac{3}{10}$，得$cosθ=\frac{4}{5}$．
因為θ∈[-$\frac{π}{2}$，0]，所以$sinθ=-\frac{3}{5}$，
所以：$sin2θ=2sinθcosθ=-\frac{24}{25}$，$cos2θ=2{cos}^{2}θ-1=\frac{7}{25}$，

所以：$sin（2θ-\frac{π}{4}）$=$sin2θcos\frac{π}{4}-cos2θsin\frac{π}{4}$
=-$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．

點評 本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的周期的應用，利用函數(shù)的關系式求函數(shù)的值，主要考查學生的應用能力．