Question

10．若函數(shù)f（x）=lg[sin（πx）•sin（2πx）•sin（3πx）•sin（4πx）]的定義域與區(qū)間[0，1]的交集由n個開區(qū)間組成，則n的值為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由題意可得sin（πx）•sin（2πx）•sin（3πx）•sin（4πx）＞0，而當(dāng)x∈（0，1）時，sin（πx）＞0恒成立；當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時，sin（2πx）＞0，當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜1時，sin（2πx）＜0，問題變成了求在0＜x＜$\frac{1}{2}$時，sin（3πx）與sin（4πx）同號得區(qū)間，及$\frac{1}{2}$＜x＜1時，sin（3πx）與sin（4πx）異號的區(qū)間．然后由三角函數(shù)的象限符號求解即可．

解答 解：要使原函數(shù)有意義，則sin（πx）•sin（2πx）•sin（3πx）•sin（4πx）＞0，
當(dāng)x∈（0，1）時，sin（πx）＞0恒成立；
即sin（2πx）•sin（3πx）•sin（4πx）＞0．
若sin（2πx）＞0，得2kπ＜2πx＜π+2kπ，即k＜x＜$\frac{1}{2}+k$，
取k=0，得0＜x＜$\frac{1}{2}$；
若sin（2πx）＜0，得π+2kπ＜2πx＜2π+2kπ，即$\frac{1}{2}+k$＜x＜1+k，
取k=0，得$\frac{1}{2}$＜x＜1；
∴只需sin（3πx）與sin（4πx）在（0，$\frac{1}{2}$）上同號，在（$\frac{1}{2}，1$）上異號．
若sin（3πx）＞0，得2kπ＜3πx＜π+2kπ，即$\frac{2k}{3}$＜x＜$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}k$，
取k=0，得0＜x＜$\frac{1}{3}$．取k=1，得$\frac{2}{3}＜x＜1$；
若sin（3πx）＜0，得π+2kπ＜3πx＜2π+2kπ，即$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}k$＜x＜$\frac{2}{3}+\frac{2}{3}k$，
取k=0，得$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{2}{3}$；
若sin（4πx）＞0，得2kπ＜4πx＜π+2kπ，即$\frac{k}{2}$＜x＜$\frac{1}{4}+\frac{k}{2}$，
取k=0，得0＜x＜$\frac{1}{4}$．取k=1，得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}$；
若sin（4πx）＜0，得π+2kπ＜4πx＜2π+2kπ，即$\frac{1}{4}$+$\frac{k}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}+\frac{k}{2}$，
取k=0，得$\frac{1}{4}$＜x＜$\frac{1}{2}$．取k=1，得$\frac{3}{4}＜x＜1$．
∴滿足sin（πx）•sin（2πx）•sin（3πx）•sin（4πx）＞0且在[0，1]內(nèi)的區(qū)間為：
（0，$\frac{1}{4}$），（$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$），（$\frac{1}{2}，\frac{2}{3}$），（$\frac{3}{4}，1$），共4個．
∴n的值為4．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了三角函數(shù)的象限符號，是中檔題．