Question

19．已知點(diǎn)P是雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與圓C₂：x²+y²=a²+b²的一個(gè)交點(diǎn)，且∠PF₁F₂=60°，其中F₁、F₂分別為雙曲線C₁的左、右焦點(diǎn)，則雙曲線C₁的離心率為1+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），可設(shè)P為第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，由直徑所對(duì)的圓周角為直角，可得∠F₁PF₂=90°，在直角三角形PF₁F₂中，運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合雙曲線的定義和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
可設(shè)P為第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，
由直徑所對(duì)的圓周角為直角，可得∠F₁PF₂=90°，
在直角三角形PF₁F₂中，|PF₁|=|F₁F₂|cos60°=c，
|PF₂|=|F₁F₂|sin60°=$\sqrt{3}$c，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
即有（$\sqrt{3}$-1）c=2a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=1+$\sqrt{3}$．
故答案為：1+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的連線的求法，注意運(yùn)用直徑所對(duì)的圓周角為直角和三角函數(shù)的定義，以及雙曲線的定義，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．