Question

7．正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a_n²+3a_n=6S_n+4
（1）求{a_n}的通項公式
（2）設(shè)b_n=2ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）將n換為n+1，相減，分解因式，結(jié)合條件可得a_n+1-a_n=3，再由等差數(shù)列的通項公式即可得到所求；
（2）求得${b_n}={2^n}{a_n}=（3n+1）•{2^n}$，再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）由$a_n^2+3{a_n}=6{S_n}+4$…①，
可得$a_{n+1}^2+3{a_{n+1}}=6{S_{n+1}}+4$…②，
由②-①得$a_{n+1}^2-a_n^2+3{a_{n+1}}-3{a_n}=6{S_{n+1}}-6{S_n}=6{a_{n+1}}$，
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0，
∵a_n＞0，∴a_n+1+a_n＞0，∴a_n+1-a_n-3=0，
即a_n+1-a_n=3，
又$a_1^2+3{a_1}=6{S_1}+4=6{a_1}+4$，
即$a_1^2-3{a_1}-4=（{a_1}-4）（{a_1}+1）=0$，
∵a_n＞0，∴a₁=4，
∴{a_n}是4為首項，3為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=4+3（n-1）=3n+1；
（2）${b_n}={2^n}{a_n}=（3n+1）•{2^n}$，
故${T_n}=4•{2^1}+7•{2^2}+10•{2^3}+…+（3n+1）•{2^n}$，
$2{T_n}=\;4•{2^2}+7•{2^3}+10•{2^4}+…+（3n+1）•{2^{n+1}}$，
兩式相減可得-T_n=8+3（4+8+…+2ⁿ）-（3n+1）•2ⁿ⁺¹，
=2+3（2+4+8+…+2ⁿ）-（3n+1）•2ⁿ⁺¹
=${2^1}+3•\frac{{2（{2^n}-1）}}{2-1}-（3n+1）•{2^{n+1}}$
=-（3n-2）•2ⁿ⁺¹-4，
∴${T_n}=（3n-2）•{2^{n+1}}+4$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用下標(biāo)相減和等差數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．