Question

18．已知等比數(shù)列{a_n}的前項和為S_n=$\frac{a}{2^n}$+b，且a₁=1
（1）求a，b的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；（2）設(shè)b_n=$\frac{n}{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b+$\frac{1}{2}$a=1，a+b=0，再由等比數(shù)列的通項公式，即可得到；
（2）求出b_n=$\frac{n}{a_n}$=n•2^n-1，再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到．

解答 解：（1）由S_n=$\frac{a}{2^n}$+b，且a₁=1，
可得b+$\frac{1}{2}$a=1，a+b=0，
解得a=-2，b=2，
即有a_n=a₁q^n-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
（2）b_n=$\frac{n}{a_n}$=n•2^n-1，
即有前n項和T_n=1+2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1，①
2T_n=2+2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ，②
①-②，得：-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查錯位相減法求數(shù)列的和，考查運算能力，屬于中檔題．