Question

6．設(shè)集合X是實(shí)數(shù)集R的子集，如果x₀∈R，滿足：對(duì)任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x-x₀|＜a，則稱x₀為集合X的聚點(diǎn)，現(xiàn)有如下四個(gè)集合：
①$\{\frac{2n+1}{n}|n∈Z，n≥2\}$②{x∈R|x≠1}③$\{\frac{n-1}{n}|n∈Z，n≥1\}$④整數(shù)集Z；
其中以1為聚點(diǎn)的集合是（　　）

• A． ②③
• B． ①④
• C． ①③
• D． ①②④

Answer 1

分析 由已知中關(guān)于集合聚點(diǎn)的定義，我們逐一分析四個(gè)集合中元素的性質(zhì)，并判斷是否滿足集合聚點(diǎn)的定義，進(jìn)而得到答案．

解答 解：①$\{\frac{2n+1}{n}|n∈Z，n≥2\}$中的元素構(gòu)成以2為極限的數(shù)列，不符合題意；
②{x∈R|x≠1}，滿足：對(duì)任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x-1|＜a，故此集合以1為聚點(diǎn)；
③{$\frac{n-1}{n}$|n∈Z，n≥1}中的元素構(gòu)成以1為極限的數(shù)列，故對(duì)?a＞0，?x滿足：對(duì)任意a＞0，都存在x∈{$\frac{n-1}{n}$|n∈Z，n≥1}，
使0＜|x-1|＜a成立，故此集合以1為聚點(diǎn)．
④整數(shù)集Z中的元素是整數(shù)，故對(duì)?a＞0，不存在x∈Z，使0＜|x-1|＜a成立，∴1不是集合Z的聚點(diǎn)；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合元素的性質(zhì)，其中正確理解新定義--集合的聚點(diǎn)的含義，是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．