Question

11．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}，滿足a₁+a₂+a₃=6，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{S_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）通過等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)計(jì)算可知公差為1，進(jìn)而可得結(jié)論；
（II）通過裂項(xiàng)可知b_n=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（I）∵a₁+a₂+a₃=6，
∴3a₂=6，即a₂=2，
∵a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
∴${a_1}{a_4}={a_2}^2$，
∴（2-d）（2+2d）=2²，
解得d=1或d=0（舍），
∴a_n=n；
（II）∵a_n=n，
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴b_n=$\frac{1}{S_n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴${T_n}=2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]=2（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．