Question

3．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其焦點在圓x²+y²=1上，
（1）求橢圓的方程
（2）設A，B，M是橢圓上的三點（異于橢圓頂點），且存在銳角θ，使$\overrightarrow{OM}$=cosθ$\overrightarrow{OA}$+sinθ$\overrightarrow{OB}$，求證：直線OA與OB的斜率之積為定值．

Answer 1

分析 （1）通過橢圓焦點在圓x²+y²=1上可知a²-b²=1，利用e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$計算可知a²=2，進而計算可得結論；
（2）通過設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、M（x，y），利用$\overrightarrow{OM}$=cosθ$\overrightarrow{OA}$+sinθ$\overrightarrow{OB}$及點M在橢圓上計算可知（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$+${{y}_{1}}^{2}$）cos²θ+（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$+${{y}_{2}}^{2}$）sin²θ+2（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}$+y₁y₂）cosθsinθ=1，代入$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1$、$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}=1$化簡計算可知$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}$+y₁y₂=0，進而化簡可得結論．

解答 （1）解：∵橢圓焦點在圓x²+y²=1上，
∴a²-b²=1，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，即a²=2，
∴b²=a²-1=1，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1$①，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}=1$②，
又設M（x，y），依題意，有$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{1}cosθ+{x}_{2}sinθ}\\{y={y}_{1}cosθ+{y}_{2}sinθ}\end{array}\right.$，
∵點M在橢圓上，
∴$\frac{（{x}_{1}cosθ+{y}_{1}sinθ）^{2}}{2}$+$（{y}_{1}cosθ+{y}_{2}sinθ）^{2}$=1，
整理得（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$+${{y}_{1}}^{2}$）cos²θ+（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$+${{y}_{2}}^{2}$）sin²θ+2（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}$+y₁y₂）cosθsinθ=1，
將①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得：$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}$+y₁y₂=0，
∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，注意解題方法的積累，屬于中檔題．