Question

1．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為45⁰的直線與雙曲線的左支沒(méi)有公共點(diǎn)，則此雙曲線的離心率的取值范圍是$1＜e≤\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖象，根據(jù)圖象和條件列出不等式，再基本量的關(guān)系、離心率公式轉(zhuǎn)化，求出離心率的范圍，最后根據(jù)雙曲線的離心率大于1，綜合可得e的范圍．

解答 解：由題意畫(huà)出圖象：
雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的漸近線方程：y=±$\frac{a}$x
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)F且傾斜角為45⁰的直線與雙曲線的左支沒(méi)有公共點(diǎn)，
所以由圖象可得，$\frac{a}$≤tan45°=1，
則b≤a，即b²≤a²，
所以c²-a²≤a²，c²≤2a²，
則$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}≤$2，即e$≤\sqrt{2}$，
所以此雙曲線的離心率的取值范圍是$1＜e≤\sqrt{2}$，
故答案為：$1＜e≤\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及直線與雙曲線的位置關(guān)系：需要與漸近線進(jìn)行比較，在求離心率的范圍時(shí)，注意雙曲線的離心率大于1，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．