Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，則不等式（x+2015）³f（x+2015）+27f（-3）＞0的解集是（-2018，-2015）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x³f（x），x∈（-∞，0），利用導(dǎo)數(shù)判斷g（x）的單調(diào)性，
再把不等式（x+2015）³f（x+2015）+27f（-3）＞0化為g（x+2015）＞g（-3），
利用單調(diào)性求出不等式的解集．

解答 解：根據(jù)題意，令g（x）=x³f（x），
其導(dǎo)函數(shù)為g′（x）=3x²f（x）+x³f′（x）=x²[3f（x）+xf′（x）]，
∵x∈（-∞，0）時(shí)，3f（x）+xf′（x）＞0，
∴g（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
又不等式（x+2015）³f（x+2015）+27f（-3）＞0可化為
（x+2015）³f（x+2015）＞（-3）³f（-3），
即g（x+2015）＞g（-3），
∴0＞x+2015＞-3；
解得-2015＞x＞-2018，
∴該不等式的解集是為（-2018，-2015）．
故答案為：（-2018，-2015）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求不等式的解集的問題，是綜合性題目．