Question

20．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：
①sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°；
②sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°；
③sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°；
④sin²（-30°）+cos²60°-sin（-30°）cos60°；
⑤sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°．
（1）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；
（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣到一個三角恒等式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）這是一個利用三角函數(shù)公式進(jìn)行變換化簡求值的問題，主要是抓住“角”之間的關(guān)系，聯(lián)想借助降冪公式及逆用兩角和與差的正余弦公式可求得結(jié)果；
（2）依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、角之間的關(guān)系，可以得到形如“sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=C”的規(guī)律．然后利用和第（1）問類似的思路進(jìn)行證明．

解答 解：（1）選擇②式，計算如下：
sin²15°+cos²15°-sin15°cos 15°=1-$\frac{1}{2}$sin30°=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（2）解法一：
三角恒等式為sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．      …（4分）
證明如下：
sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）
=sin²α+（cos 30°cos α+sin30°sinα）²-sinα（cos 30°cos α+sin30°sinα）
=sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sinαcosα+$\frac{1}{4}$sin²α-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sinαcosα-$\frac{1}{2}$sin²α
=$\frac{3}{4}$sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α=$\frac{3}{4}$…（12分）
解法二：
三角恒等式為sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．
證明如下：
sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）
=$\frac{1-cos2α}{2}+\frac{1+cos（60°-2α）}{2}$-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2α+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$（cos60°cos2α+sin60°sin2α）-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinαcosα-\frac{1}{2}si{n^2}α$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2α+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}cos2α+\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2α-\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2α-\frac{1}{4}（1-cos2α）$
=$1-\frac{1}{4}cos2α-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}cos2α=\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．