Question

11．一種智能手機(jī)電子閱讀器，特別設(shè)置了一個“健康閱讀”按鈕，在開始閱讀或者閱讀期間的任意時刻按下“健康閱讀”按鈕后，手機(jī)閱讀界面的背景會變?yōu)樗{(lán)色或綠色以保護(hù)閱讀者的視力．假設(shè)“健康閱讀”按鈕第一次按下后，出現(xiàn)藍(lán)色背景與綠色背景的概率都是$\frac{1}{2}$．從按鈕第二次按下起，若前次出現(xiàn)綠色背景，則下一次出現(xiàn)藍(lán)色背景、綠色背景的概率分別為$\frac{3}{5}$、$\frac{2}{5}$．記第n（n∈N，n≥1）次按下“健康閱讀”按鈕后出現(xiàn)藍(lán)色背景概率為P_n．
（1）求P₂的值；
（2）當(dāng)n∈N，n≥2時，試用P_n-1表示P_n；
（3）求P_n關(guān)于n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）計算按鈕第一次、第二次按下后均出現(xiàn)藍(lán)色背景與第一次、第二次按下后依次出現(xiàn)綠色、藍(lán)色背景的概率，再求和即可；
（2）考慮第n-1次按下按鈕后出現(xiàn)藍(lán)色背景的概率與出現(xiàn)綠色背景的概率，計算第n-1次、第n次按下按鈕后均出現(xiàn)藍(lán)色背景與第n-1次、第n次按下按鈕后依次出現(xiàn)綠色背景、藍(lán)色背景的概率，求和得P_n與P_n-1的遞推式；
（3）由得P_n與P_n-1的遞推式，得出{P_n-$\frac{9}{19}$}是等比數(shù)列，求出P_n的通項公式即可．

解答 解：（1）若按鈕第一次、第二次按下后均出現(xiàn)藍(lán)色背景，
則其概率為$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$；
若按鈕第一次、第二次按下后依次出現(xiàn)綠色背景、藍(lán)色背景，
則其概率為$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{3}{10}$；
所以，所求的概率為P₂=$\frac{1}{6}$+$\frac{3}{10}$=$\frac{7}{15}$；…（4分）
（2）第n-1次按下按鈕后出現(xiàn)藍(lán)色背景的概率為P_n-1（n∈N，n≥2），
則出現(xiàn)綠色背景的概率為1-P_n-1；
若第n-1次、第n次按下按鈕后均出現(xiàn)藍(lán)色背景，
則其概率為P_n-1×$\frac{1}{3}$；
若第n-1次、第n次按下按鈕后依次出現(xiàn)綠色背景、藍(lán)色背景，
則其概率為（1-P_n-1）×$\frac{3}{5}$；
所以，P_n=$\frac{1}{3}$P_n-1+$\frac{3}{5}$（1-P_n-1）=-$\frac{4}{15}$P_n-1+$\frac{3}{5}$，
（其中n∈N，n≥2）；…（8分）
（3）由（2）得，P_n-$\frac{9}{19}$=-$\frac{4}{15}$（P_n-1-$\frac{9}{19}$），
即 $\frac{{P}_{n}-\frac{9}{19}}{{P}_{n-1}-\frac{9}{19}}$=-$\frac{4}{15}$，（其中n∈N，n≥2）；
所以，{P_n-$\frac{9}{19}$}是首項為$\frac{1}{38}$，公比為-$\frac{4}{15}$的等比數(shù)列，
所以，P_n-$\frac{9}{19}$=$\frac{1}{38}$•（-$\frac{4}{15}$）^n-1；
即P_n=$\frac{1}{38}$•（-$\frac{4}{15}$）^n-1+$\frac{9}{19}$，（n∈N，n≥1）．…（12分）

點評 本題考查了古典概型的概率的應(yīng)用問題，也考查了遞推數(shù)列的應(yīng)用問題，考查了等比數(shù)列的定義與通項公式的應(yīng)用問題，是綜合性題目