Question

在數(shù)列中，已知，，，，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，且滿足，，其中為正整數(shù).

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)問是否存在正整數(shù)，，使成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對，若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1) ， (2)

【解析】

試題分析：(1) 由和項與通項的關系，化簡得到數(shù)列的遞推關系：當時， ，兩式相減得，從而得到數(shù)列為隔項成等差，又，可解得 ，同理因為，所以所以數(shù)列成公比為的等比數(shù)列，所以

(2)先根據(jù)等比數(shù)列和項公式得：，代入化簡繁分數(shù)并部分分離得：，取倒數(shù)要明確數(shù)的性質(zhì)：即，從而可解得

試題解析：(1) 因為 ，所以當時，，兩式相減得，又 也適合， 2分

當時，，兩式相減得， 4分

所以數(shù)列的奇數(shù)項成公差為2的等差，偶數(shù)項也成公差為2的等差

又，可解得 6分

因為，所以

又，所以數(shù)列成公比為的等比數(shù)列

所以 8分

(2) 因為，所以 10分

由得 12分

化簡得：

14分

故，符合條件的有序?qū)崝?shù)對為 16分

考點：由數(shù)列和項求通項，數(shù)列綜合應用