Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=na_n-n（n-1），且a₁=1．
（Ⅰ） 求證{a_n}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 設b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知數(shù)列遞推式得S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）（n≥2），與原遞推式作差，可得a_n-a_n-1=2（n≥2），則數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，代入等差數(shù)列的通項公式求得{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通項公式代入b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，然后利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=na_n-n（n-1），∴S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）（n≥2），
列式相減得：a_n=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），即a_n-a_n-1=2（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$1-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了裂項相消法求數(shù)列的前n項和，是中檔題．