Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=4{t}^{2}-6}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{π}{3}$（p∈R），l與C相交于A，B兩點(diǎn)
（1）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的普通方程
（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再化為參數(shù)方程，再將曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)化為的普通方程；
（Ⅱ）將$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入y=x²-6化簡后，由韋達(dá)定理求出中點(diǎn)M所對應(yīng)的參數(shù)，再點(diǎn)M的直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，直線l的直角坐標(biāo)方程是y=$\sqrt{3}$x，
則直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=4{t}^{2}-6}\end{array}\right.$得，曲線C的普通方程是y=x²-6；
（Ⅱ）將$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入y=x²-6得，${t}^{2}-2\sqrt{3}t-24=0$，
則△=12+4×24=108＞0，t₁+t₂=2$\sqrt{3}$，
所以$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}=\sqrt{3}$，即中點(diǎn)M所對應(yīng)的參數(shù)為$\sqrt{3}$，
所以點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
則點(diǎn)M的極坐標(biāo)（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，以及點(diǎn)的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)間的互化，屬于中檔題．