Question

18．已知函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{x}{4}$+2），如果存在實數(shù)x₁，x₂使得對任意的實數(shù)，都有f（x₁）≤f（x₂），則|x₁-x₂|的最小值是4π．

Answer 1

分析 先根據(jù)f（x₁）≤f（x₂）對任意實數(shù)x成立，進而可得到x₁、x₂是函數(shù)f（x）對應的最大、最小值的x，得到|x₁-x₂|一定是$\frac{T}{2}$的整數(shù)倍，然后求出函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{x}{4}$+2）的最小正周期，根據(jù)|x₁-x₂|=n×$\frac{T}{2}$=4nπ可求出求出最小值．

解答 解：∵存在實數(shù)x₁，x₂使得對任意的實數(shù)，都有f（x₁）≤f（x₂），
∴x₁、x₂是函數(shù)f（x）對應的最小、最大值的x，
故|x₁-x₂|一定是$\frac{T}{2}$的整數(shù)倍；
∵函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{x}{4}$+2）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{4}}$=8π，
∴|x₁-x₂|=n×$\frac{T}{2}$=4nπ（n＞0，且n∈Z），
∴|x₁-x₂|的最小值為4π；
故答案為：4π．

點評 本題考查了求正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，解題時應深刻理解題意，靈活應用基礎知識，屬于中檔題．