Question

4．在四邊形ABCD（A，B，C，D按逆時針排列）中，$\overrightarrow{AB}$=（6，1），$\overrightarrow{CD}$=（-2，-3），若有$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{DA}$，又有$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BD}$，求$\overrightarrow{BC}$的坐標．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)$\overrightarrow{BC}$=（x，y），由此表示出$\overrightarrow{DA}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{BD}$的坐標，結(jié)合題意可得x=-2y，①以及（6+x）（x-2）+（1+y）（y-3）=0，②，聯(lián)立①、②，解可得答案．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{BC}$=（x，y），
則$\overrightarrow{DA}$=-$\overrightarrow{AD}$=-（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$）=（-x-4，2-y），$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=（6+x，1+y），$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=（x-2，y-3）；
若$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{DA}$，則有x（2-y）=y（-x-4），即x=-2y，①，
若$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BD}$，則有（6+x）（x-2）+（1+y）（y-3）=0，②，
聯(lián)立①、②，解可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=3}\end{array}\right.$，
則$\overrightarrow{BC}$=（2，-2）或（-6，3）．

點評 本題考查向量以及向量數(shù)量積的坐標運算，解題時要先將求出向量的坐標，進而利用向量平行、垂直的性質(zhì)得到關(guān)于x、y的關(guān)系式．