Question

1．f（x）=x²+ax+b與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)A，B，C，且△ABC外心在y=x上，則a+b=（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． 0
• D． -2

Answer 1

分析 可畫出圖形，設(shè)得到C（0，b），然后設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，設(shè)O₁為△ABC的外心，從而可得到${x}_{1}=\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2}，{x}_{1}+{x}_{2}=-a$，這樣根據(jù)O₁在y=x便可得到${O}_{1}（-\frac{a}{2}，-\frac{a}{2}）$，從而由|O₁A|=|O₁C|便可以得到b（a+b+1）=0，而容易說明b≠0，從而有a+b+1=0，這便得出a+b的值．

解答 解：如圖，易得C（0，b），設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，O₁為△ABC的外心，則：

x₁，x₂為方程x²+ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根；
∴${x}_{1}=\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2}，{x}_{1}+{x}_{2}=-a$；
∴O₁的橫坐標(biāo)為$-\frac{a}{2}$，又O₁在y=x上；
∴${O}_{1}（-\frac{a}{2}，-\frac{a}{2}）$；
由|O₁A|=|O₁C|得，$（-\frac{a}{2}-\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2}）^{2}+（-\frac{a}{2}-0）^{2}$=$（-\frac{a}{2}-0）^{2}+（-\frac{a}{2}-b）^{2}$；
整理得，ab+b²+b=0；
∴b（a+b+1）=0；
顯然b≠0，否則f（x）的圖象與坐標(biāo)軸只有2個(gè)交點(diǎn)；
∴a+b+1=0；
∴a+b=-1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)f（x）圖象和x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與方程f（x）=0實(shí)根的關(guān)系，一元二次方程的求根公式，以及韋達(dá)定理，三角形外心的概念，兩點(diǎn)間的距離公式．