Question

提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度(單位：千米

/小時(shí))是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù).當(dāng)橋上的的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車

流速度為0；當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)，研究表明，當(dāng)時(shí)，

車流速度是車流密度的一次函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式.

（2）當(dāng)車流密度為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/每小時(shí)）可以達(dá)到最大，并求最大值（精確到1輛/每小時(shí)）.

 

Answer 1

（1）函數(shù)的表達(dá)式為；（2）當(dāng)車流密度為輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為輛/小時(shí).

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，函數(shù)表達(dá)式為分段函數(shù)的形式，關(guān)鍵在于求函數(shù)在時(shí)的表達(dá)式，根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式的形式，用待定系數(shù)法可求得：當(dāng)時(shí)，設(shè)，

由已知得，解得，即；（2）先在區(qū)間上，函數(shù)為增函數(shù)，得最大值為，然后在區(qū)間上用基本不等式或者利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值，用基本不等式取等號(hào)的條件求出相應(yīng)的值，兩個(gè)區(qū)間內(nèi)較大的最大值即為函數(shù)在區(qū)間上的最大值 .

試題解析：（1）由題意：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，

由已知得，解得，

故函數(shù)的表達(dá)式為；

（2）依題意并由（1）可得，

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，其最大值為；

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．

∴當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最大值．

綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最大值，

即當(dāng)車流密度為輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為輛/小時(shí)．

考點(diǎn)：一次函數(shù)與二次函數(shù)的運(yùn)用.