Question

6．若拋物線C₁：y²=2px（p＞0）的焦點F恰好是雙曲C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，且它們的交點的連線過點F，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}+1$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線方程得到焦點坐標(biāo)和交點坐標(biāo)，代入雙曲線，把$\frac{p}{2}$=c代入整理得c⁴-6a²c²+a⁴=0等式兩邊同除以a⁴，得到關(guān)于離心率e的方程，進(jìn)而可求得e．

解答 解：∵兩條曲線交點的連線過點F，
∴兩條曲線交點為（$\frac{p}{2}$，p），
代入雙曲線方程得$\frac{\frac{{p}^{2}}{4}}{{a}^{2}}-\frac{{p}^{2}}{^{2}}=1$，
又$\frac{p}{2}$=c
代入化簡得 c⁴-6a²c²+a⁴=0
∴e⁴-6e²+1=0
∴e²=3+2$\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）²
∴e=$\sqrt{2}$+1
故選：A．

點評 本題考查由圓錐曲線的方程求焦點、考查雙曲線的三參數(shù)的關(guān)系：c²=a²+b²注意與橢圓的區(qū)別．