Question

16．已知a為正實數(shù)，y=f（x）為奇函數(shù)，當x＜0時，y=x+$\frac{a}{x}$+7，若y≥1-a，對一切x≥0成立，求a的范圍．

Answer 1

分析 設x＞0則-x＜0，利用條件和奇函數(shù)的性質(zhì)求出x＞0時的解析式，再由基本不等式求出此時f（x）的最小值，根據(jù)恒成立列出不等式，求出a的取值范圍．

解答 解：設x＞0，則-x＜0，
∵當x＜0時，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+7，
∴f（-x）=-x-$\frac{a}{x}$+7，
∵y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=x+$\frac{a}{x}$-7，
又a是正實數(shù)，則x+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{a}$，當且僅當x=$\frac{a}{x}$時取等號，
∴f（x）=x+$\frac{a}{x}$-7≥2$\sqrt{a}$-7，
∵f（x）≥1-a對一切x≥0成立，
∴2$\sqrt{a}$-7≥1-a，即a+2$\sqrt{a}$-8≥0，
解得$\sqrt{a}$≥2或$\sqrt{a}$≤-4（舍去），即a≥4，
∴a的取值范圍為[4，+∞）．

點評 本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式求最值的應用，屬于中檔題．