Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式．
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$•cos（n+1）π，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，若對任意x∈N^*．S_n＜λn²恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）等式兩邊同除以2ⁿ⁺¹，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，即可證明數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式．
（2）分類討論，求和，利用對任意x∈N^*．S_n＜λn²恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

解答 （1）證明：∵a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}為等差數(shù)列，
∵a₁=2，
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$=1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，
∴a_n=n•2ⁿ；
（2）解：n為奇數(shù)時，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$•cos（n+1）π=-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=-n；n為偶數(shù)時，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$•cos（n+1）π=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n；
∴n為奇數(shù)2k-1時，S_n=-1+2-3+4+…-n=（k-1）-（2k-1）=-k；
n為偶數(shù)2k時，S_n=-1+2-3+4+…+n=k；
對任意x∈N^*．S_n＜λn²恒成立，則-k＜λ（2k-1）²，∴λ＞-1；
或k＜λk²，∴λ＞1，
∴λ＞1．

點評 本題考查等差數(shù)列的證明、通項、求和的求解，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．