Question

5．已知兩個定點A₁（-2，0），A₂（2，0），動點M滿足直線MA₁與MA₂的斜率之積是定值$\frac{m}{4}$（m≠0）．
（1）求動點M的軌跡方程，并指出隨m變化時方程所表示的曲線C的形狀；
（2）若m=-3，過點F（-l，0）的直線交曲線C于A與B兩點，線段AB的中點為G，AB的中垂線與x軸、y軸分別交于D，E兩點．記△GFD的面積為S_l，△OED（O為坐標原點）的面積為S₂．試問：是否存在直線AB，使得S_l=S₂？說明理由．

Answer 1

分析 （1）設動點M（x，y），依題意有$\frac{y}{x-2}•\frac{y}{x+2}=\frac{m}{4}$，（m≠0），由此能求出動點M的軌跡方程，并能指出隨m變化時方程所表示的曲線的形狀．
（2）m=-3時，動點M的軌跡 方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠±2），設設AB方程為y=k（x+1），代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，利用根與系數(shù)之間的關系進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）設動點M（x，y），依題意有$\frac{y}{x-2}•\frac{y}{x+2}=\frac{m}{4}$，（m≠0），
整理，得$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{m}=1$，m≠2．
∴動點M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{m}=1，x≠±2$．
m＞0時，軌跡是焦點在x軸上的雙曲線，
m∈（-4，0）時，軌跡是焦點在x軸上的橢圓，
m=-4時，軌跡是圓，
m∈（-∞，-4）時，軌跡是焦點在y軸上的橢圓，且點A₁（-2，0），A₂（2，0）不在曲線上．
（2）m=-3時，動點M的軌跡 方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠±2），
假設垂直直線AB，使S_l=S₂，顯然直線AB不能與x，y軸垂直，
∴直線AB的斜率存在且不為0，
設AB方程為y=k（x+1），
代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1并整理得（3+4k²）x²+8kk²x+4k²-12=0
設A（x_E1E，y_E1E），B（x_E2，y_E2），
則x_E1E+x_E2=$\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y_E1E+y_E2=$\frac{6k}{3+4{k}^{2}}$，

則G（$\frac{-4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$），
∵DG⊥AB，
∴$\frac{\frac{3k}{3+4{k}^{2}}}{\frac{-4k}{3+4{k}^{2}}-{x}_{D}}$•k=-1，
解得x_ED=-$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，即D（-$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，0），
∵△GFD～△OED，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$（\frac{|DG|}{|OD|}）^{2}$，
又S_l=S₂，∴|DG|=|OD|，
∴$\sqrt{（\frac{-{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-\frac{-4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}+（\frac{3k}{3+4{k}^{2}}）^{2}}$=|-$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$|，
整理得8k²+9=0，
∵此方程無解，
∴不存在直線AB，使S_l=S₂

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線和圓錐曲線的位置關系的應用，利用直線和圓錐曲線的位置關系轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強運算量較大．