Question

14．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$經(jīng)過(guò)一、三象限的漸近線為m，若圓${x^2}+{y^2}-2\sqrt{5}x-2\sqrt{5}y+6=0$上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到m的距離為1，則此雙曲線的離心率e的取值范圍為（　�。�

• A． $[{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，2\sqrt{5}}]$
• B． $（{1，\sqrt{5}}]$
• C． $[{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\sqrt{5}}]$
• D． $[{\sqrt{5}，2\sqrt{5}}]$

Answer 1

分析 圓${x^2}+{y^2}-2\sqrt{5}x-2\sqrt{5}y+6=0$上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到m的距離為1，可得圓心到直線的距離小于等于1，建立不等式，即可求出雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：圓${x^2}+{y^2}-2\sqrt{5}x-2\sqrt{5}y+6=0$，可化為（x-$\sqrt{5}$）²+（y-$\sqrt{5}$）²=4，
∵圓${x^2}+{y^2}-2\sqrt{5}x-2\sqrt{5}y+6=0$上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到m的距離為1，
∴圓心到直線的距離小于等于1，
∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$經(jīng)過(guò)一、三象限的漸近線為m：bx-ay=0，
∴$\frac{|\sqrt{5}b-\sqrt{5}a|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$≤1，
∴2b²-5ab+2a²≤0，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{a}$≤2，
∴1+$\frac{1}{4}$≤1+（$\frac{a}$）²≤5，
∴$\frac{\sqrt{5}}{2}$≤e≤$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率e的取值范圍，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．