Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^2}+3x+2a}}{x}$，x∈[2，+∞）
（1）當a=$\frac{1}{2}$時，試判斷f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．
（2）若對任意x∈[2，+∞），f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，按照取值、作差、變形并判斷符號、下結論的方法完成證明；
（2）這是一個不等式恒成立問題，可以轉化為函數(shù)的最值問題求解，在求解之前可以先將字母a分離出來，然后構造函數(shù)，研究單調(diào)性，求其最值．

解答 解：（1）當$a=\frac{1}{2}$時，$f（x）=\frac{{x}^{2}+3x+1}{x}=x+\frac{1}{x}+3$，該函數(shù)在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
由題意設2≤x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=${x}_{2}-{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{1}}$
=$（{x}_{2}-{x}_{1}）（\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$①
因為2≤x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
所以①式＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x₂）＞f（x₁），故函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由f（x）＞0有$\frac{{x}^{2}+3x+2a}{x}＞0$對x∈[2，+∞）恒成立，
即2a＞-x²-3x對x∈[2，+∞）恒成立，
令g（x）=-x²-3x，x∈[2．+∞），
該二次函數(shù)在$（-\frac{3}{2}，+∞）$上遞減，所以該函數(shù)在[2，+∞）上遞減，
故g（x）_max=g（2）=-10．
所以要使原式成立，只需2a＞g（x）_max=-10成立，
即a＞-5即為所求．

點評 對于函數(shù)的單調(diào)性，一般采用定義法或導數(shù)法進行判斷或求解，本題用的是定義法；而不等式恒成立問題，一般轉化為函數(shù)的最值解決問題，能分離參數(shù)的盡量分離參數(shù)．