Question

9．如圖所示，在幾何體ABCDE中，AB=BC=CA=EB=EC=2$\sqrt{3}$，DE=$\sqrt{2}$，點(diǎn)D在底面ABC上的射影O為底面三角形ABC的中心，平面BEC⊥平面ABC．
（1）判斷A，D，E，O四點(diǎn)是否共面，并證明你的結(jié)論；
（2）求DE與平面ABD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由AD∩DE=D，得直線AD與直線DE確定一個(gè)平面ADEB，由已知得O∈平面ABC，且O∉平面ADEB，由此能證明A，D，E，O四點(diǎn)不共面．
（2）取AB中點(diǎn)G，在平面ABC中過(guò)O作OF⊥OG，交BC于F，以O(shè)為原點(diǎn)，OG為x軸，OF為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出DE與平面ABD所成的角的正弦值．

解答 解：（1）A，D，E，O四點(diǎn)不共面．
證明：∵AD∩DE=D，∴直線AD與直線DE確定一個(gè)平面ADEB，
∵點(diǎn)D在底邊ABC上的陰影O為底面三角形ABC的中心，
∴O∈平面ABC，且O∉平面ADEB，
∴A，D，E，O四點(diǎn)不共面．
（2）取AB中點(diǎn)G，在平面ABC中過(guò)O作OF⊥OG，交BC于F，以O(shè)為原點(diǎn)，OG為x軸，OF為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB=BC=CA=EB=EC=2$\sqrt{3}$，DE=$\sqrt{2}$，點(diǎn)D在底邊ABC上的陰影O為底面三角形ABC的中心，平面BEC⊥平面ABC，
∴A（1，-$\sqrt{3}$，0），B（1，$\sqrt{3}$，0），D（0，0，3），E（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$，3），
$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AB}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AD}$=（-1，$\sqrt{3}$，3），
設(shè)平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-x+\sqrt{3}y+3z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（3，0，1），
設(shè)DE與平面ABD所成的角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+2}•\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
∴DE與平面ABD所成的角的正弦值$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四點(diǎn)是否共面的判斷與求法，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．