Question

14．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1．直角梯形ABEF可以通過直角梯形ABCD以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)得到，且平面ABEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：FA⊥BC；
（Ⅱ）求直線BD和平面BCE所成角的正弦值；
（Ⅲ）設(shè)H為BD的中點，M，N分別為線段FD，AD上的點（都不與點D重合）．若直線FD⊥平面MNH，求MH的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面與平面垂直的性質(zhì)證明：FA⊥平面ABCD，即可證明FA⊥BC；
（Ⅱ）以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCE的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線BD和平面BCE所成角的正弦值；
（Ⅲ）設(shè)$\frac{DM}{DF}$=k（0＜k≤1），則M（1-k，0，k），利用FD⊥平面MNH，求出M的坐標(biāo)，即可求MH的長．

解答 （Ⅰ）證明：由已知得∠FAB=90°，所以FA⊥AB．
因為平面ABEF⊥平面ABCD，
且平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以FA⊥平面ABCD，
由于BC?平面ABCD，所以FA⊥BC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知FA⊥平面ABCD，所以FA⊥AB，F(xiàn)A⊥AD．
由已知DA⊥AB，所以AD，AB，AF兩兩垂直．
以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．

因為AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1，
則B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），E（0，1，1），
所以$\overrightarrow{BC}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，-1，1），
設(shè)平面BCE的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
所以$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{-y+z=0}\end{array}\right.$．
令x=1，則$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．
設(shè)直線BD與平面BCE所成角為θ，
因為$\overrightarrow{BD}$=（1，-2，0），
所以sinθ=|$\frac{1-2}{\sqrt{3}•\sqrt{5}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
所以直線BD和平面BCE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
（Ⅲ）解：A（0，0，0），D（1，0，0），F(xiàn)（0，0，1），B（0，2，0），H（$\frac{1}{2}$，1，0）．
設(shè)$\frac{DM}{DF}$=k（0＜k≤1），則M（1-k，0，k），
∴$\overrightarrow{MH}$=（k-$\frac{1}{2}$，1，-k），$\overrightarrow{FD}$=（1，0，-1）．
若FD⊥平面MNH，則FD⊥MH．
即$\overrightarrow{FD}•\overrightarrow{MH}$=0．
∴k-$\frac{1}{2}$+k=0．解得k=$\frac{1}{4}$．
則$\overrightarrow{MH}$=（$\frac{1}{4}$，1，-$\frac{1}{4}$），|$\overrightarrow{MH}$|=$\frac{3}{4}\sqrt{2}$．

點評 本題考查線面垂直的判定、平面與平面垂直的性質(zhì)，考查線面角，正確運用向量法是關(guān)鍵．