Question

16．某象棋比賽，規(guī)定如下：兩名選手比賽時每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多3分獲勝后停止，或打滿7局時停止（可以出現(xiàn)沒有獲勝的情況）．設(shè)某學(xué)校選手甲和選手乙比賽時，甲在每局中獲勝的概率為p（p＞$\frac{1}{2}$），且各局勝負(fù)相互獨立．已知第三局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為$\frac{1}{3}$．甲獲勝的概率為$\frac{1400}{2187}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，先求出甲每局獲勝的概率p，再計算打滿3局、打滿5局以及打滿7局甲獲勝的概率，求和即可．

解答 解：比賽進(jìn)行到第3局結(jié)束，應(yīng)滿足甲連勝3局，或乙連勝3局，
則p³+（1-p）³=$\frac{1}{3}$，
化簡得，9p²-9p+2=0，
解得p=$\frac{2}{3}$，p=$\frac{1}{3}$（不合題意，舍去）；
所以，打滿3局甲獲勝的概率為${C}_{3}^{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$=$\frac{8}{27}$，
打滿5局甲獲勝時，前3局甲2勝第4、5局甲連勝，
其概率為${C}_{3}^{2}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{81}$，
打滿7局甲獲勝時，前5局甲3勝6、7甲連勝，
其概率為${C}_{5}^{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{320}{729×3}$；
所以，甲獲勝的概率為P=$\frac{8}{27}$+$\frac{16}{81}$+$\frac{320}{729×3}$=$\frac{1400}{2187}$．
故答案為：$\frac{1400}{2187}$．

點評 本題考查了相互獨立事件的概率計算問題，也考查了一定的計算能力，是綜合性題目．