Question

求通過原點(diǎn)且與兩直線l₁：x+2y-9=0，l₂：2x-y+2=0相切的圓的方程．

Answer 1

分析：由圓與l₁、l₂相切，根據(jù)切線長定理得到圓心的軌跡在l₁與l₂的夾角平分線上，而兩直線的斜率乘積為-1，得到兩直線垂直，即夾角為90°，可得出l與l₂夾角為45°，設(shè)l₁與l₂的夾角平分線為l，其斜率為k，根據(jù)斜率與夾角的關(guān)系列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，再將l₁與l₂的方程聯(lián)立求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，由交點(diǎn)坐標(biāo)與求出的k寫出直線l的方程，設(shè)出圓心坐標(biāo)為（a，b），代入直線l的方程，得到關(guān)于a與b的方程，記作①，由所求圓過原點(diǎn)，且與直線l₂相切，得到圓心到原點(diǎn)的距離等于圓心到直線l₂距離，利用兩點(diǎn)間的距離公式及點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a與b的方程，記作②，聯(lián)立①②求出可得出a與b的值，確定出圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．

解答：解：∵圓與l₁、l₂相切，
∴圓心的軌跡在l₁與l₂的夾角平分線上，
∵k₁=-

1

2

，k₂=2，
∴k₁•k₂=-1，即l₁⊥l₂，…（4分）
設(shè)l₁與l₂的夾角平分線為l，其斜率為k，
∴l(xiāng)與l₂夾角為45°，
∴|

- 1 2 -k

1- 1 2 k

|=tan45°=1，
∴k=-3或k=

1

3

（舍去），…（6分）
又兩直線l₁：x+2y-9=0，l₂：2x-y+2=0的交點(diǎn)為（1，4），
∴直線l的方程為y-4=-3（x-1），即3x+y-7=0，
設(shè)圓心（a，b），代入直線l方程得：3a+b-7=0①，
∵圓心到直線l₂：2x-y+2=0的距離d=

|2a-b+2|

5

，圓心到原點(diǎn)的距離為

a2+b2

，
∴

|2a-b+2|

5

=

a2+b2

②，
聯(lián)立①②解得：

a=2 b=1

或

a= 22 5 b=- 31 5

，
∴圓心坐標(biāo)為（2，1）或（

22

5

，-

31

5

），r²=a²+b²=5或

289

5

，
則所求圓方程為（x-2）²+（y-1）²=5或（x-

22

5

）²+（y+

31

5

）²=

289

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的切線方程，涉及的知識(shí)有：切線長定理，兩直線夾角與斜率的關(guān)系，兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，直線的點(diǎn)斜式方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及兩直線垂直斜率滿足的關(guān)系，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．