Question

18．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b=2，B=$\frac{π}{3}$且sin2A+sin（A+C）=sinB，則△ABC的面積為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知化簡可得sin2A=0，即A=90°，從而可求C，由正弦定理可得c，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：∵銳角△ABC中，sin2A+sin（A+C）=sinB，
∴2sinAcosA=sin（A+C）-sin（A+C），
∴sin2A=0，即A=90°．
再由b=2，B=$\frac{π}{3}$ 可得C=$\frac{π}{6}$，
故由正弦定理可得：c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{2×sin\frac{π}{6}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∴△ABC的面積為：$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式的應用，屬于基礎題．