Question

16．設函數(shù)f（x）=（x-a）²lnx，a∈R．
（I）若x=e是y=f（x）的極值點，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）-4e²只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導函數(shù)，另一回事的極值為0，求解a，然后驗證即可．
（Ⅱ）解法1：方程f（x）=4e²只有一個根，轉化為曲線f（x）與直線y=4e²只有一個公共點．設$h（x）=2lnx+1-\frac{a}{x}$，通過①當a≤0時，②當0＜a≤1時，③當a＞1時，判斷函數(shù)的單調性，求出極大值，轉化為$f（{x_0}）＜4{e^2}$，即${（{x_0}-a）^2}ln{x_0}＜4{e^2}$，
所以${x_0}^2{ln^3}{x_0}＜{e^2}$，然后推出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=（x-a）²lnx，a∈R．
$f'（x）=（x-a）（2lnx+1-\frac{a}{x}）$，----------------（2分）
由x=e是f（x）的極值點，得$f'（e）=（{e-a}）（{3-\frac{a}{e}}）=0$，解得a=e或a=3e，---------（3分）
經(jīng)檢驗，符合題意，所以a=e或a=3e；-----------------------（4分）
（Ⅱ）由已知得方程f（x）=4e²只有一個根，
即曲線f（x）與直線y=4e²只有一個公共點．
易知f（x）∈（-∞，+∞），設$h（x）=2lnx+1-\frac{a}{x}$，-----------------（5分）
①當a≤0時，易知函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調遞增的，滿足題意；-------------（6分）
②當0＜a≤1時，易知h（x）是單調遞增的，又h（a）=2lna＜0，h（1）=1-a≥0，
∴?x₀∈（a，1），h（x₀）=0，
當0＜x＜a時，$f'（x）=（x-a）（2lnx+1-\frac{a}{x}）$＞0，∴f（x）在（0，a）上單調遞增，
同理f（x）在（a，x₀）上單調遞減，在（x₀，+∞）上單調遞增，
又極大值f（a）=0，所以曲線f（x） 滿足題意；-----------------------（8分）
③當a＞1時，h（1）=1-a＜0，h（a）=2lna＞0，
∴?x₀∈（1，a），h（x₀）=0，即$2ln{x_0}+1-\frac{a}{x_0}=0$，得a-x₀=2x₀lnx₀，
可得f（x） 在（0，x₀）上單調遞增，在（x₀，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增，
又f（a）=0，若要曲線f（x） 滿足題意，只需$f（{x_0}）＜4{e^2}$，即${（{x_0}-a）^2}ln{x_0}＜4{e^2}$，
所以${x_0}^2{ln^3}{x_0}＜{e^2}$，由x₀＞1知g（x）=x²ln³x＞0，且在[1，+∞）上單調遞增，
由g（e）=e²，得1＜x₀＜e，因為a=x₀+2x₀lnx₀在[1，+∞）上單調遞增，
所以1＜a＜3e；------------------------------------（11分）
綜上知，a∈（-∞，3e）．------------------------------------（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調性，構造法的應用，轉化思想以及分類討論思想的應用，難度比較大．