Question

13．已知點A（-3，5），B（2，15），試在直線l：3x-4y+4=0上找一點P，使|PA|+|PB|最小，并求出最小值．

Answer 1

分析 設點A（-3，5）關于直線l：3x-4y+4=0的對稱點為A′（a，b），求出A′．可得直線A′B的方程，與l的方程聯立即可解出P，則|PA|+|PB|的最小值=|A′B|．

解答 解：設點A（-3，5）關于直線l：3x-4y+4=0的對稱點為A′（a，b），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-5}{a+3}×\frac{3}{4}=-1}\\{3×\frac{a-3}{2}-4×\frac{b+5}{2}+4=0}\end{array}\right.$，解得A′（3，-3）．
直線A′B的方程為：18x+y-51=0，聯立$\left\{\begin{array}{l}{3x-4y+4=0}\\{18x+y-51=0}\end{array}\right.$，解得P$（\frac{8}{3}，3）$．
則|PA|+|PB|的最小值=|A′B|=$\sqrt{{1}^{2}+1{8}^{2}}$=5$\sqrt{13}$．

點評 本題考查了點關于直線對稱點的求法、互相垂直的直線斜率之間的關系、中點坐標公式、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．